Résolutions d'équations différentielles

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Equations_différentielles (265.35 Ko)

Contenu du cours

Ce petit cours reprend la méthodologie pour la résolution d'équations différentielles d'ordre 1 et d'ordre 2. Ce cours est accompagné de nombreux exemples pour que le lecteur puisse travailler de lui même, et s'habituer à manipuler les expressions.

Pour les équations d’ordre 1, on étudiera le cas avec coefficients constants, et non constants ; homogènes ou non ; linéaires ou non (le tout avec un exemple simple pour chaque cas).

Pour les équations d’ordre 2, on étudiera seulement le cas d’équations différentielles d’ordre 2, linéaires et à coefficients constants (homogènes ou non). On va, entre autre, résoudre l’équation différentielle de l’oscillateur harmonique amortie entretenu en utilisant la méthode des exponentielles complexes^*.

Une future fiche reprendra plus en détails les phénomènes de résonnances.

*pour avoir un exemple plus physique, je vous invite à consulter la page de wikipédia traitant des équations différentielles d’ordre 2, dans la section « présence d’un terme inhomogène en utilisant la méthode des exponentielles complexes » (partie rédigée par mes soins également  )

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Systeme differentiel (723.24 Ko)

Contenu du cours

Dans ce cours, nous allons étudier la résolution d'un système différentiel (c'est-à-dire plusieurs équations différentielles couplées) à l'aide des valeurs propres de la matrice engendrée par ce système. Pour cela, nous allons dans un premier temps revoir les bases du calcul matriciel (produit matriciel, calcul de l'inverse, et du déterminant de la matrice), et nous allons nous familiariser avec le calcul de valeurs et de vecteurs propres.

Afin de permettre au lecteur de se familiariser avec ces nouveaux outils, de nombreux exercices corrigés ont été rédigés. Nous allons également nous intéresser aux matrices nilpotentes. Un exercice détaillé portera sur l’étude de la désintégration radioactive à 3 corps (avec un atome père, un atome fils et un atome stable).

Pour rendre le cours plus vivant, j’ai codé un algorithme sous fortran 77 permettant, à l’aide de la méthode de Runge et Kutta d’ordre 4, de résoudre numériquement un système différentiel de 1 à 3 équations.

Je remercie monsieur Thierry Réveillé, enseignant chercheur à l'IJL de la FST de Nancy pour m'avoir donné les bases de la programmation en fortran 77 et les bases de l'utilisation de l'outil numérique pour la physique.

Utilisation du code :

1. ?téléchargez le code sous format texte : Programme (3.86 Ko) et enregistrez-le dans un dossier lambda (notez le chemin d'accès de ce dossier).
2. téléchargez le compilateur g77 : G77 (2.06 Mo) et dézippez le sur le disque local C://.
3. modifiez le code source comme vous le voulez (indication : les commentaires sont soit après les "c" soit après les "!" ; et on rentre le deuxième membre de l'équation différentielle tout en bas du programme). Notez que chaque équation différentielle a la même écriture : dYi/dt=Fi(t,Y1,Y2,Y3) et enregistrez -le avec l'extension ".for"
4. ouvrez l'invite de commande windows (windows + R, puis tapez cmd, puis enter).
5. tapez cd.. puis enter deux fois afin d'arriver sur le disque local C:\.
6. tapez cd g77 puis enter, puis g77setup (en un mot) puis enter.
7. refaite cd.. puis enter pour revenir sur le disque local.
8. taper cd chemin_d'accès_vers_le_dossier puis enter.
9. Ecrivez la ligne suivante, en respectant bien les espaces : g77 -Wall nom_du_prog.for –o nom_du_prog.exe 2>errprogramme.txt puis appuyez sur enter.
10. Le fichier errprogramme fera un listing des erreurs rencontrées lors de la compilation.
11. Double-cliquez sur le fichier.exe (s'il n'est pas là, consultez le fichier texte contenant les erreurs de compilation : une erreur s'est glissée dans le code). Cela va créer un fichier texte "Kutta" contenant les résultats de la simulation numérique.